Innhold

• Fremgangsmåte
• Tips
• Advarsler

Før kalkulatoren kom, måtte både studenter og lærere beregne kvadratrøtter for hånd. Flere metoder har utviklet seg for å bedre takle denne skremmende prosessen, noen gir tilnærminger og andre en mer nøyaktig verdi. For å lære å beregne en kvadratrot for hånd ved hjelp av enkle operasjoner, les Trinn 1 å begynne.

Fremgangsmåte

Metode 1 av 2: Bruk primfaktorisering

1. 

   Del tallet på perfekte kvadratfaktorer. Denne metoden bruker faktorene til et tall for å beregne en kvadratrot (avhengig av verdien kan det være et nøyaktig eller estimert svar). Du faktorer av et tall er ethvert sett med andre som multipliserer for å oppnå det. Du kan for eksempel si hva faktorene er og hvorfor. Perfekte kvadrater, derimot, er hele tall som skyldes multiplikasjonen mellom andre hele tall. Verdier, og for eksempel, er perfekte firkanter fordi de kan representeres av henholdsvis, og. De perfekte kvadratfaktorene, som du kanskje forestiller deg, er også perfekte firkanter. For å begynne å finne kvadratroten gjennom primærfaktorisering, reduser du verdiene til dine perfekte kvadratfaktorer.
   • I ett eksempel må du beregne kvadratroten på hånden. For å starte, bare del verdien i dine perfekte kvadratfaktorer. Siden det er et multiplum av, er det fortsatt kjent at det er delbart med - et perfekt firkant. En rask mental inndeling vil få deg til å se at det passer tidene i tallet, som tilfeldigvis også er et perfekt kvadrat. Derfor vil de perfekte kvadratfaktorene være og hvorfor.
   • Den første fasen av øvelsen vil bli skrevet som:

2. 

   
   
   Beregn kvadratrøttene til de perfekte kvadratfaktorene. Egenskapen til kvadratrotproduktet sier at for alle verdier og data ,. På grunn av dette er det nå mulig å trekke ut kvadratroten til faktorene og multiplisere dem for å komme til svaret.
   • I det aktuelle eksemplet blir kvadratrøttene til og ekstrahert som følger:

3. 

   
   
   Reduser den resulterende verdien til de enkleste vilkårene, hvis det ikke er mulig å faktorisere den perfekt. I praksis er det lite sannsynlig at tallene er perfekte og nøyaktige med faktorer som også er perfekte firkanter (som). I slike tilfeller er det kanskje ikke mulig å komme med et nøyaktig helhetssvar. I stedet, ved å bestemme faktorene som kan være perfekte firkanter, kan du beregne svaret basert på en mindre, enklere og lettere å arbeide kvadratrot. Bare reduser tallet til kombinasjonen av faktorer som er perfekte firkanter med andre som ikke er det. Forenkle deretter resultatet.
   • Anta at kvadratroten av brukes som et eksempel. Dette tallet er ikke et produkt av to perfekte firkanter, så det er ikke mulig å komme til et heltall som i forrige tilfelle. Imidlertid er det produktet mellom en perfekt firkant og et annet tall - e. Disse dataene vil bli brukt til å fremme søket etter svaret i de enkleste ordene, som følger:

4. 

   
   
   Gjør estimater om nødvendig. Med kvadratroten i sine enkleste termer, er det enklere å estimere et numerisk svar ved å angi verdien av de gjenværende kvadratrøttene og multiplisere passende verdier. En måte å veilede deg gjennom disse estimatene er å finne de perfekte rutene ved siden av tallet i kvadratroten. Du vil vite at desimalene for dette tallet vil være mellom disse to verdiene, og det vil derfor være lettere å fastsette hva som eksisterer mellom dem.
   • Når du går tilbake til eksemplet og er e, kan du se at det er mellom e - og sannsynligvis nærmere det større tallet. Når du estimerer, vil du finne det. Bare sjekk operasjonen ved hjelp av en kalkulator, og du vil merke at du har kommet veldig nær det sanne svaret ().
     • Dette fungerer også i større antall. Det er for eksempel mulig å estimere at det er mellom og (sannsynligvis nærmere det større tallet). Hvis e og er mellom begge verdiene, er det sannsynlig at kvadratroten også er mellom og. Når du tar i betraktning at det er et lite skritt unna, kan du trygt si at kvadratroten din er snart under verdien. Når du utfører beregningen på en kalkulator, kommer du til resultatet - antagelsen var riktig.

5. 

   Først reduserer du antallet til ditt vanlige flere minimumsnivåer. Det er ikke nødvendig å finne faktorer som er perfekte firkanter hvis du er i stand til å bestemme hovedfaktorene til et tall (det vil si også primtall). Skriv verdien i spørsmålet basert på det vanlige multiplum. Deretter ser du etter par med primtall som samsvarer med hverandre. Når du finner to alternativer som oppfyller disse kravene, ta dem ut av kvadratroten og plasser en av dem utenfor.
   • Som et eksempel, prøv å finne kvadratroten til med denne metoden. Det er kjent det og det. På grunn av dette er det mulig å skrive kvadratroten i forhold til dens faktorer :. Bare ta de to tilstede inne i roten og plasser en av dem på utsiden for å komme til de enkleste vilkårene :. Herfra er det enkelt å estimere.
   • Som et siste eksempel, prøv å beregne kvadratroten til:
     • 
       Her er det flere verdier inni kvadratroten - ettersom det er et primtall, er det bare å ta et av parene og plassere en av enhetene på utsiden.
     • Som et resultat vil kvadratroten i sine enkleste termer være eller. Herfra kan du estimere verdiene til og hvis du ønsker det.

Metode 2 av 2: Beregning av firkantede røtter manuelt

1. 

   Først skiller du mellomrom fra tallet parvis. Denne metoden bruker en prosess som ligner på lang divisjon for å beregne kvadratroten nøyaktig, ett hus om gangen. Selv om det ikke er avgjørende, kan du oppleve at prosessen er enklere når den er organisert visuelt og tallet er delt inn i deler. Den første tingen å gjøre er å tegne en vertikal linje som skiller arbeidsområdet i to regioner, og deretter lage en mindre horisontal linje nær øverst til høyre for å ha en liten seksjon øverst og en stor nederst. Nå skiller du mellomrom fra tallet i par som begynner med komma: å følge for eksempel denne regelen blir. Skriv verdien øverst i venstre mellomrom.
   • I ett eksempel kan du prøve å beregne kvadratroten av. Lag to linjer for å dele arbeidsområdet som i forrige tilfelle, og skriv i den øvre delen av venstre plass, og ikke bekymre deg hvis det bare er et enkelt tall til venstre i stedet for et par. Du må skrive svaret () øverst til høyre.

2. 

   Finn ut hvilket som er det største heltallet hvis kvadrat er mindre enn eller lik tallet (eller tallparet) til venstre. Start med den venstre delen av nummeret ditt, enten det er et par eller en isolert verdi. Bestem hvilken som er den største perfekte firkanten som er mindre enn eller lik tallet og ta kvadratroten: denne verdien representeres av. Skriv det opp øverst til høyre og skriv firkanten i nedre høyre kvadrant.
   • I eksemplet er den venstre delen tallet. Som det er kjent er det mulig å si det, siden det er den største heltallverdien hvis kvadrat er mindre enn eller lik. Skriv i øvre kvadrant - dette vil være den første firkanten av resultatet. Skriv deretter (kvadrat av) i nedre høyre kvadrant - denne verdien vil være viktig for neste trinn.

3. 

   Trekke fra det nylig beregnede parnummeret til venstre. Som i lang divisjon, er neste trinn å trekke kvadratet funnet fra den delen som nettopp har blitt studert. Skriv denne verdien under den første delen og utfør riktig subtraksjon, skriv svaret nedenfor.
   • I eksemplet blir en plassert under den for å utføre subtraksjonen. Svaret her vil være lik.

4. 

   Gå ned til neste par. Flytt neste del av studienummeret ned og ved siden av den subtraherte verdien du nettopp fant. Multipliser deretter verdien øverst til høyre med og skriv svaret i nedre høyre kvadrant. Nå er det bare å skille mellomrom for multiplikasjonsproblemet i neste trinn :.
   • I eksemplet er det neste paret som er tilgjengelig. bare se på det nær den nedre venstre kvadranten. Multipliser deretter verdien med og få den, slik at. Skriv nederst i høyre hjørne, etterfulgt av.

5. 

   Fyll ut emnene i riktig kvadrant. Hver av dem vil nå ha samme heltall. Det må være det største som gjør at resultatet av multiplikasjonen til høyre kan være mindre enn eller lik antallet som nå er til venstre.
   • I eksemplet fyller du ut emnene med resultatet :. Dette er en verdi større enn. På den måten er det for stort, men det vil nok gjøre. Skriv tomt og fortsett :. Det er bekreftet at det oppfyller behovet fordi, så skriv tallet i øvre høyre kvadrant. Dette er den andre firkanten i kvadratroten av.

6. 

   Trekk den beregnede verdien fra tallet nå til venstre. Fortsett å trekke i samme stil som lang divisjon. Ta resultatet av multiplikasjonsproblemet i høyre kvadrant og trekk det fra verdien som nå er på venstre side, og plasser svaret ditt rett nedenfor.
   • I eksemplet vil det bli trukket fra, noe som resulterer i.

7. 

   Gjenta trinn 4. Rull ned til neste del av tallet hvis kvadratrot beregnes. Når du kommer til kommaet, skriv en desimal i svaret i øvre høyre kvadrant. Multipliser deretter verdien øverst til høyre med og skriv operasjonen i hvitt () som tidligere.
   • I eksemplet, når kommaet nås nå, skriv det rett etter gjeldende svar øverst til høyre. Flytt deretter nedover neste par () i venstre kvadrant. Ved å multiplisere med verdien øverst til høyre (), får du - skriv i nedre høyre kvadrant.

8. 

   Gjenta trinn 5 og 6. Finn den største desimalverdien som er i stand til å fylle ut blankene til høyre som gir et resultat som er mindre enn eller lik antallet som for øyeblikket er til venstre. Så er det bare å gå videre til problemet.
   • I eksemplet ,, som er mindre enn eller lik tallet til venstre (). Når du observerer det, som er for høyt, kommer du til at det er svaret du leter etter. Skriv det som neste desimal i øvre høyre kvadrant og trekk resultatet av å multiplisere tallet til venstre :.

9. 

   Fortsett å beregne desimalene. Slipp et par nuller til venstre og gjenta Trinn 4, 5 og 6. For enda større presisjon, fortsett å gjenta prosessen til du finner hundredeler, tusendeler og så videre i svaret ditt. Bare fortsett i denne syklusen til du når resultatet på ønsket desimalplass.

Forstå prosessen

1. 

   Definer tallet som kvadratroten vil bli beregnet som arealet av et kvadrat. Siden dette området har en formel, der det representerer lengden på en av sidene, prøver du å beregne lengden på det aktuelle kvadratet når du prøver å finne kvadratroten av verdien.

2. 

   Spesifiser variablene for hver desimal i svaret ditt. Sett variabelen til å være den første desimalen av (kvadratrot beregnes), være den andre, være den tredje, og så videre.

3. 

   Tilordne alfabetiske variabler til hver del av startnummeret. Knytt variabelen til det første desimalparet i (startverdi), det andre paret desimaler og så videre.

4. 

   Forstå sammenhengen mellom denne metoden og lang divisjon. Denne måten å beregne kvadratroten på er i utgangspunktet et langdelingsproblem som deler startnummeret med kvadratroten, gir dens kvadratrot som svar. Som med langdelingsproblemer, der interessen rettes mot en desimal om gangen, bør du her fokusere på to om gangen (som tilsvarer neste kvadratrot desimal).

5. 

   Finn det største tallet hvis kvadrat er mindre enn eller lik. Den første desimalen i svaret representerer det største heltallet hvis kvadrat ikke overstiger (så). I eksemplet, og, slik at.
   • I et eksempel, hvis du ønsket å dele ved å bruke langdelingsmetoden, ville det første trinnet være likt: du bør se etter det første sifferet () og finne det største heltallet som, når det multipliseres med, vil resultere i noe mindre enn eller lik. I utgangspunktet handler det om å finne den måten. I dette tilfellet vil det være lik.

6. 

   Visualiser firkanten hvis område du vil beregne. Svaret, som er kvadratroten til startnummeret, vil bli representert med, som beskriver lengden på et arealutvadrat (startnummer). Verdiene for og representerer desimalene som er tilstede i. En annen måte å sette denne definisjonen på er å si at når det gjelder et svar med to desimaler, når det gjelder et svar med tre desimaler, og så videre.
   • I eksemplet ,. Husk at det representerer svaret med i enhetene og i tiere. Tar og som et eksempel, vil det resultere i tallet. Hvis det representerer arealet av torget, representerer det arealet til det største indre torget, representerer arealet til det minste indre kvadratet og representerer arealet til hver av de gjenværende rektanglene. Når du utfører denne lange og kompliserte prosessen, vil du ha hele kvadratområdet for hånden, bare legge til områdene som er beregnet fra kvadratene og rektanglene inni.

7. 

   Trekk fra. Slipp et par () desimaler. Uttrykket representerer nesten hele torget, hvorfra det største indre torget ble trukket fra. Resten kan i sin tur representeres av den som er oppnådd i Trinn 4 (i eksemplet ovenfor). Her, (areal av begge rektangler pluss arealet til den minste firkanten).

8. 

   Se etter, også skrevet som. I eksemplet vet du allerede () og (), og det er nå nødvendig å beregne verdien av. Det vil sannsynligvis ikke være en heltallverdi, så du må egentlig beregne den største hele muligheten som tilfredsstiller tilstanden. Til slutt vil du sitte igjen med.

9. 

   Løs operasjonen. For å fortsette, multipliser med, endre posisjonen til tiere (ekvivalent med å multiplisere verdien med), sett den i posisjonen til enhetene og multipliser resultatet med. Med andre ord er det bare å utføre operasjonen. Det er det samme som når du skriver (å være) i nedre høyre kvadrant til stede i Trinn 4. Allerede i Trinn 5, i sin tur, vil du finne den største heltallverdien som vil passe i det tomme rommet som tilfredsstiller betingelsen.

10. 

    Trekk området fra det totale området. Dette resulterer i at området hittil har blitt ignorert (og som vil bli brukt til å beregne de neste rutene på en lignende måte).

11. 

    For å beregne neste desimal, er det bare å gjenta prosessen. Bla ned til neste par () for å komme til venstre og se etter den høyeste verdien som tilfredsstiller betingelsen (tilsvarer å skrive dobbelt så mye som verdien med to desimaler ledsaget av. Søk etter høyest mulig desimalverdi i blankene. som gir et resultat som er mindre enn eller lik som før.

Tips

• Denne metoden fungerer med hvilken som helst base - ikke bare basen (desimal).
• I eksemplet kan en "hvile" betraktes:
  
• En alternativ metode som bruker kontinuerlige brøker følger denne formelen:
  
  I et eksempel, for å beregne kvadratroten til, er heltallet der kvadraten nærmest samsvarer med startnummeret, slik at, e. Når du skriver inn verdiene i formelen og avrunder estimatet, gir det allerede resultatet (minimumsverdier), eller omtrent (). Neste periode vil være, eller omtrent (). Hvert ekstra begrep legger til nesten tre desimaler med presisjon i forhold til forrige forsøk.

Advarsler

• Husk å skille desimalene parvis fra kommaet. En separasjon av hvordan for eksempel vil gi ubrukelige resultater.