Innhold

• Steps
• Tips

For de som har vanskeligheter med matematikk, kan det å se symbolet på en kvadratrot forårsake frysninger. Problemer med denne operatøren er imidlertid ikke så vanskelige som de ser ut. Noen ganger kan enkle kvadratrotproblemer være like enkle som en enkel multiplikasjon eller deling. På den annen side kan mer kompliserte problemer være mer arbeid. Likevel, med riktig tilnærming, vil de alle se enkle ut. Begynn å øve på problemer med kvadratrot nå og lær denne nye matteferdigheten radikal!

Steps

Del 1 av 3: Forstå begrepet kvadrat- og kvadratrøtter

1. 

   Før du forstår kvadratrøtter, må du først forstå hva kvadratet til et tall er. Det er lett å forstå. For å kvadratere et tall er det bare å multiplisere det med seg selv. For eksempel er 3 kvadrater det samme som 3 × 3 = 9, og 9 kvadrat er det samme som 9 × 9 = 81. Kvadratene er betegnet med en liten "2" på øverste høyre side av tallet som skal heves, som dette: 3, 9, 100 og så videre.
   • For å øve på konseptet, prøv å kvadrere noen flere tall. Husk at det å kvadratere et tall ganske enkelt multipliserer det med seg selv. Du kan gjøre dette selv med negative tall, men husk at svaret i dette tilfellet alltid vil være positivt. For eksempel -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   For å finne kvadratroten, finn den "inverse" av potensieringen. Rotsymbolet (√, også kalt "radikal") betyr i utgangspunktet det "motsatte" av symbolet. Når du ser en radikal, kan du spørre deg selv: "Hvilket tall kan jeg multiplisere med seg selv slik at resultatet blir tallet innenfor radikalen?" Når du for eksempel ser √ (9), kan du prøve å finne tallet som, kvadrat, tilsvarer ni. I dette tilfellet vil svaret være trefordi 3 = 9.
   • Et annet eksempel: la oss finne kvadratroten til 25 (√ (25)). Dette betyr at vi må finne tallet som, kvadratisk, er lik 25. Siden 5 = 5 × 5 = 25, kan vi si at √ (25) = 5.
   • Du kan også tenke på denne operasjonen som en måte å "angre" en firkantet høyde på. For eksempel, hvis vi trenger å finne √ (64), kvadratroten på 64, bør vi tenke på 64 som 8. Siden kvadratroten i utgangspunktet "kansellerer" en høyde i kvadratet, kan vi si at √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Forstå forskjellen mellom perfekte firkantetall og ufullkomne firkantetall. Så langt har svarene på kvadratrotproblemene våre vært heltall. Det vil ikke alltid skje. Faktisk kan resultatet av en strålingsoperasjon noen ganger resultere i lange, kompliserte desimaler. Hvis roten til et tall er et helt tall, det vil si at hvis det ikke er en brøkdel eller desimal, vil den bli kalt perfekt torg. Alle eksemplene vist ovenfor (9, 25 og 64) er perfekte firkanter fordi røttene deres er heltall (henholdsvis 3, 5 og 8).
   • På den annen side kalles tall hvis røtter ikke er helt ufullkomne firkanter. Når vi beregner roten til et av disse tallene, vil vi oppnå et resultat som vanligvis vil være en brøkdel eller et desimal. Noen ganger kan de involverte desimalene være ganske kompliserte, som i eksemplet: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Husk minst de 12 første perfekte rutene. Som vi har vist, kan det være veldig enkelt å beregne kvadratroten til et tall! Så det er viktig å ta seg tid til å huske kvadratrøttene til de første dusin perfekte rutene. De har en tendens til å vises mye på tester, så å huske dem kan spare deg for mye tid. De første 12 perfekte rutene er:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Forenkle røttene når det er mulig ved å fjerne de perfekte rutene. Å finne kvadratroten av ufullkomne firkanter kan være ganske vanskelig, spesielt hvis det ikke er noen kalkulator tilgjengelig (i seksjonene nedenfor lærer du triks for å forenkle prosessen). Imidlertid er det noen ganger mulig å forenkle tallene i roten for å gjøre beregninger enklere. Del bare tallet inne i roten i faktorer, beregn deretter roten til faktorene som er perfekte firkanter og skriv svaret utenfor radikalet. Dette er lettere enn det ser ut. Se nedenfor for å forstå bedre!
   • La oss si at du trenger å finne roten på 900. Til å begynne med ser det ut til å være en ganske vanskelig oppgave! Alt er mye lettere hvis vi deler 900 inn i faktorer. Faktorene til et tall “x” er et sett med tall som, hvis multiplisert, resulterer i “x”. For eksempel kan vi få 6 ved å multiplisere 1 × 6 og 2 × 3, så faktorene til 6 er 1, 2, 3 og 6.
   • I stedet for å jobbe med 900, som kan være litt rart, la oss i stedet skrive det som 9 × 100. Nå som 9, som er et perfekt kvadrat, er atskilt fra 100, kan vi beregne kvadratroten. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Det vil si √ (900) = 3√(100).
   • Vi kan fortsatt forenkle to ganger til, dele 100 inn i faktorene 25 og 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Så vi kan si at √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Bruk imaginære tall for å beregne roten til negative tall. Spør deg selv, hvilket antall multiplisert med seg selv resulterer i -16? Det er ikke 4 eller -4, fordi kvadratet med disse to tallene er 16. Skal vi gi opp? Det er faktisk ingen måte å skrive kvadratroten på -16 eller noe annet negativt tall bare ved å bruke reelle tall. I slike tilfeller må vi bruke imaginære tall (vanligvis i form av bokstaver eller symboler) for å erstatte kvadratroten til et negativt tall. Variabelen "i" brukes for eksempel for å betegne kvadratroten -1. Som hovedregel vil roten til et negativt tall alltid være (eller i det minste inkludere) et tenkt tall.
   • Husk at selv om imaginære tall ikke kan representeres med reelle tall, kan de fremdeles behandles som slike på noen måter. For eksempel vil roten til et negativt tall “-x”, hvis det er kvadrat, også resultere i “-x”, akkurat som enhver annen rot. Det vil si, i = -1

Del 2 av 3: Bruk av lange divisjonslignende metoder

1. 

   Behandle kvadratrotproblemet som om det var en lang inndeling. Til tross for at du er litt arbeidskrevende, kan du finne kvadratroten av kompliserte ufullkomne kvadratnummer uten å bruke en kalkulator. Metoden (eller algoritmen) er lik (men ikke den samme) som langdivisjonen. Den lange inndelingen er den tradisjonelle metoden som brukes til å beregne divisjoner for hånd.
   • Begynn med den innledende plasseringen av problemet, som vil være lik den for den lange divisjonen. La oss for eksempel si at du trenger å finne roten på 6.45, som definitivt ikke er et perfekt torg. Først skriver vi et firkantet rotsymbol (√) og så legger vi tallet inn i det. Deretter må vi lage en linje fra symbolet √ til det dekker hele tallet, og la det være i en boks som ligner den der langdelingsdeleren er. Forskjellen er at her vil svaret ligge over den ruten, ikke under, som i den tradisjonelle inndelingen. Når vi er ferdige, vil vi ha et langstrakt "√" -skilt som dekker hele tallet 6.45.
   • La oss skrive tall på denne boksen, så la plass.

2. 

   Grupp sifrene i par. For å begynne å løse problemet, grupperer du sifrene i tallet inne i stilken parvis, begynner med desimalet. Du kan lage små markeringer (for eksempel perioder, stolper, kommaer osv.) Mellom par for å skille dem.
   • I vårt eksempel bør vi dele 6.45 i tre par, slik: 6-,45-00. Ser at det er ett mindre siffer på venstre side, det er ikke noe problem med det.

3. 

   Finn det største tallet hvis kvadrat er mindre enn eller lik verdien av den første "gruppen". Begynn med det første nummeret på venstre side. Velg det største tallet hvis kvadrat er mindre enn eller lik "gruppen". Hvis for eksempel gruppen var 37, velg 6, fordi 6 = 36 <37 men 7 = 49> 37. Skriv dette tallet over den første gruppen. Dette er det første sifferet i svaret.
   • I vårt eksempel er den første gruppen i 6-, 45-00 6. Det første største tallet hvis kvadrat er mindre enn eller lik 6 er 2, fordi 2 = 4. Skriv "2" over de 6 som er inne i radikalen.

4. 

   Se på det første sifferet i svaret (tallet vi nettopp fant) og multipliser det med to. Skriv nå resultatet under den første gruppen og utfør en subtraksjon for å finne forskjellen. Deretter blar du nedover neste par nummer, og legger dem til forskjellen vi nettopp fant. Til slutt skriver du det siste sifferet dobler det første sifferet i svaret på venstre side og lar et mellomrom ved siden av.
   • I vårt eksempel ville det første trinnet være å finne doblingen av 2, som er det første sifferet i svaret. 2 × 2 = 4. Da må vi trekke 4 fra 6 (vår første "gruppe") og få 2 som svar. Nå må vi ned til neste gruppe (45) for å få 245. Til slutt skriver vi 4 igjen til venstre, og etterlater et lite tomt rom på høyre side, slik: 4_.

5. 

   Fyll ut blanket. Nå må vi sette et siffer i stedet for det tomme stedet ved siden av tallet vi skriver til venstre. Velg siffer som, når multiplisert med tallet til venstre, med tomt mellomrom erstattet av seg selv, har en maksimal verdi, men mindre enn tallet på høyre side. Dette kan virke litt komplisert, så la oss se noen eksempler å forstå. Hvis tallet som falt ned, det vil si den på høyre side, er 1700 og tallet til høyre er 40_, ville vi fylt ut blanket med tallet 4, fordi 404 × 4 = 1616 <1700 og 405 × 5 = 2025 Tallet som er funnet i dette trinnet, vil være det andre sifferet i svaret, slik at du kan legge det til over stammesymbolet.
   • I vårt eksempel må vi finne nummeret som skal fylles ut tomt mellomrom i 4_ × _ som gjør svaret så stort som mulig, men mindre enn eller lik 245. I vårt tilfelle er svaret 5fordi 45 × 5 = 225 og 46 × 6 = 276.

6. 

   Fortsett å bruke tallene som fyller ut feltene for å komponere svaret. Fortsett denne modifiserte langdelingsmetoden til du begynner å få nuller ved å trekke fra tallet som stiger ned fra radikalet eller til du når ønsket presisjonsnivå. Når du er ferdig, utgjør tallene som brukes til å fylle ut feltene på hvert trinn (og, selvfølgelig, det første tallet vi bruker) svarssifrene.
   • Fortsetter vi vårt eksempel, vil vi trekke fra 225 fra 245 for å få 20. Deretter vil vi gå nedover paret med sifrene 00 for å få 2000. Ved å doble tallene over radikalen, har vi 25 × 2 = 50. Ved å sette det blanke tallet til 50_ × _ = / <2000, får vi 3. På dette tidspunktet har vi "253" om det radikale. Gjenta prosessen igjen, vi får en 9 som neste siffer.

7. 

   Plasser kommaet i riktig posisjon i svaret. For å fullføre svaret, trenger vi fortsatt å plassere desimalet på rett sted. Denne delen er enkel: bare legg kommaet i svaret i samme posisjon som kommaet i tallet inne i radikalen. For eksempel, hvis tallet inne i radikalet er 49,8, er det bare å sette kommaet i svaret på det stedet som tilsvarer det nedenfor, det vil si mellom de to tallene over 9 og 8.
   • I vårt eksempel er tallet innen radikalen 6.45. For å få svaret er det bare å plassere komma mellom tallene som er over 6 og 4, som i dette tilfellet er henholdsvis 2 og 5, for å få svaret: 2,539.

Del 3 av 3: raskt estimere ufullkomne firkanter

1. 

   Finn svaret gjennom et anslag. Når du kjenner roten til noen perfekte ruter, vil det være mye lettere å finne roten til ufullkomne firkanter. I et forrige trinn anbefaler vi å huske minst de første tolv perfekte rutene og røttene deres. Den gode nyheten er at vi kan bruke anslaget for å få en tilnærming til roten til en ufullkommen firkant som er mellom to perfekte firkanter som vi kjenner. For det må vi finne den første perfekte firkanten større enn ønsket antall og den siste mindre, slik at det aktuelle tallet er mellom de to. Så må vi prøve å finne ut hvilke av disse to perfekte rutene roten til ønsket antall kommer nærmest.
   • Anta for eksempel at vi trenger å finne kvadratroten på 40. Siden vi memorerer de perfekte rutene, kan vi si at 40 er mellom 6 og 7, det vil si mellom 36 og 49. Siden 40 er større enn 6, vil kvadratroten din være større enn 6. På samme måte, siden den er mindre enn 7, vil roten være mindre enn 7. 40 er litt nærmere 36 enn 49, så svaret vårt vil sannsynligvis være nærmere 6. I de neste trinnene , vil vi øke nøyaktigheten til estimatet vårt.

2. 

   Øk presisjonen til ett desimal. Når du har funnet de to påfølgende perfekte rutene som danner et område som inneholder nummeret ditt, kan du bare prøve å øke estimatets nøyaktighet til et punkt du synes er tilfredsstillende. Jo flere forsøk som er på å forbedre estimatet, jo større er nøyaktigheten. For å begynne, estimer verdien på det første desimalet. Dette estimatet trenger ikke å være riktig, men å bruke logikk for å velge en verdi som sannsynligvis vil være nærmest svaret vil lette prosessen.
   • I vårt eksempel kan et akseptabelt estimat for kvadratroten på 40 være 6,4, fordi vi allerede vet at svaret sannsynligvis er litt nærmere 6 enn 7.

3. 

   Multipliser estimatet med seg selv. Med mindre du er veldig heldig, blir ikke resultatet startnummeret (40, i vårt eksempel). Du må justere estimatet for å komme nærmere riktig svar.Hvis resultatet er over startnummeret (det vil si over 40), kan du prøve et lavere estimat. På samme måte, hvis resultatet er under ønsket antall, øker du estimatet.
   • Multipliser 6,4 av seg selv for å få 6,4 × 6,4 = 40,96, som er litt høyere enn vårt opprinnelige tall.
   • Nå som estimatet vårt var rett over riktig verdi, så la oss redusere det med en tidel for å få 6,3 × 6,3 = 39,69. Nå var resultatet litt mindre enn vårt opprinnelige nummer. Dette betyr at roten til 40 er noe tall mellom 6,3 og 6,4. Siden 39,69 er nærmere 40 enn 40,96, vet vi at roten vil være nærmere 6,3, ikke 6,4.

4. 

   Fortsett å forbedre estimatet om nødvendig. Hvis du er fornøyd med svaret på dette tidspunktet, kan du bruke en av de første tilnærmelsene som et estimat. Imidlertid, hvis du trenger et mer nøyaktig svar, bare prøv å estimere andre desimal, velge en verdi mellom de to foregående (det vil si mellom 6,3 og 6,4). Ved hjelp av denne metoden kan vi estimere tre desimaler, fire, fem og så videre, avhengig bare av presisjonen som kreves for svaret.
   • I vårt eksempel kan vi velge 6.33 for å gjøre vårt estimat til to desimaler. Multipliser 6.33 med seg selv for å oppnå 6.33 × 6.33 = 40.0689. Siden dette resultatet var litt over vårt opprinnelige tall, kan vi velge en litt lavere verdi, for eksempel 6,32. I dette tilfellet 6,32 × 6,32 = 39,9424, et resultat litt under startnummeret. Derfor kan vi konkludere med at den eksakte roten til 40 er mellom 6,32 og 6,33. Om nødvendig kan vi fortsette denne metoden for å få stadig mer nøyaktige tilnærminger til roten til ønsket antall.

Tips

• Hvis du trenger en rask løsning, bruk en kalkulator. De fleste moderne kalkulatorer kan beregne kvadratrøtter umiddelbart. Generelt er det bare å skrive hvilket som helst tall og trykke på knappen med firkantet rotsymbol. For å finne roten til 841, for eksempel, trykk bare 8, 4, 1 og deretter (√) for å få svaret: 39.